cataphract的部落格

這本在講關於數學趣味的書，我覺得很有趣，想說把我比較記不起來的章節內容打出來以後可以隨時閱讀

黃金比例：

我們都知道黃金比例是1.618。把360度除以1.618=222.5度，順時針的222.5度也就是137.5度

這個角度就是植物第一片葉子和第二片葉子之間常見的夾的角度

可以用圖畫畫看，依每片葉子跟前一片相差137.5度，當畫到第六片的時候，會發現第六片跟第一片相差的角度只有32度，換句話說，第六片會遮到第一片的陽光，因此一般的植物長五片葉子就停了。

哥尼斯堡道路之謎：(加里寧格勒)

要完成一筆劃畫完某個圖形，尤拉發現並證明了「若各條路徑都只能通行一次，則唯有當環道中沒有奇節點或具有兩個奇節點時才能辦到。若為其它任何狀況都必須反覆通行，否則就無法走完網路。」

求出N階乘近似值：(斯特靈公式)

維基有很難的推導，看不懂http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AF%E7%89%B9%E9%9D%88%E5%85%AC%E5%BC%8F

威士忌該怎麼調配：

現在有一杯純威士忌和一杯水，將水倒入一部份到威士忌杯，但突然覺得倒太多了，於是又將威士忌杯裡的酒水再倒一點點回水杯

這時水杯中的威士忌比較多 還是 酒杯中的水比較多？

Ans:一樣多。(用白球和黃球來代表水和酒來想)

心算常犯的錯：

請用心算1000+40+1000+30+1000+20+1000+10=?

再用計算機算看看，看你有沒有算對！

巧合真得很巧嗎？
在23人的班上，沒有任意兩位學童的生日相同的機率為49%

假設有一種巧合出現的機率是百萬分之一(這種巧合是永生難忘、可遇不可求的巧合)，而每天有可能會發生這種事件的次數為100次

故一天當中會碰到這種巧合機率為(百萬分之一)的100次方

然而這個機率拉到長期來看，若以20年來說，則是(百萬分之一)的100x365x20次方，約為48%→也就是說20年裡面，有一半的機率會讓你碰上難以忘懷的百萬分之一機率巧合事件。

換個方式也可以解讀成每20人當中就有1人，有超過50%的機率會在往後一年當中有奇妙的故事可以講。

踢英式橄欖球的自由球，最佳待分位置在哪：

若AB是門的兩端點，直線L是球員可以在上面選任一點踢球，則最佳的踢球點(也就是最大的夾角)就是圖中圓和線的切點。(找這個點的方法是，AB兩點連線跟直線L交匯於一點，從這點作角平分線；再作AB的中垂線，則中垂線與角平分線的交點就是圓點)

這個知識，也可以用於曕仰雕像和景點的拍照角度。

海灘游俠們的戒護角度：

救生員在路上跑的速度一定是比海上游泳的速度快，所以他要去救生地點的最快距離就不會是直線距離

最快的距離就是如同Snell定律一樣，切進海邊的入射角度和折射角度的sin值比例等於在水中和路上的速度比率。(如同光總是採取費時最短的路徑)

密碼攻防戰：

這章節是我最有興趣的，了解到密碼如何加密和解密。(只列出我比較有心得的部分)

1.Skytale

傳送信息的人有根一端略細的木棍(也就是Skytale)，並在上面纏繞長皮帶，他沿著皮帶寫下信息，解開後看起來就是一組豪無意義的字母。而收信的人也會有根一模一樣的Skytale，因此只要採反向步驟就可以則讀信息。倘若Skytale是根尋常圓柱棒，信息裡的加密字母就會均勻間隔。然而，採用了一端較細的外型，加密字母就會呈不規則排列，因此，知道棍子的正確尺寸和擺放皮帶的起點位置才可以正確解密。

2.代換密碼

加密時每碰到C字母，隨後就將字母順序移動一位，因此這樣的密碼所需的鑰匙碼(key)，只要記得C1就行了。方便記憶且不需要記在筆記本而被敵方發現。

PS:如果是每碰到C字母就用別的字母代替的這種密碼，是逃不過「次數分析」的法眼。

次數分析：

英文字母在文件中的出現次數各不相同，最常出現的是E，再來是T、N、R…

因此比較精妙的技術都必須特別處理E字母，不要使用相同符號來代表所有的E。這也是德國在二次世界大戰時期所使用的密碼機。

3.矩陣代換

概念是參照矩陣，將字母兩個為一組譯為密碼，這樣就要處理26x26=676對符號了

    A    B...

A  DI  EK...

B  GD  HR...

...

但這樣就要用一個龐大的矩陣來解讀了。其實，可以將字母A~Z轉成數字1~26

C1=1xP1+3xP2

C2=2xP1+7xP2

P1和P2分別為A~Z的數字，C1和C2是加密後的數字

解密的話就將矩陣{1,3;2,7}的反矩陣{7,23;24,1}乘以C1和C2，再mod 26就行了

P1=7xC1+23xC2
P2=24xC1+1xC2

4.轉置式密碼

先將文字寫成矩陣，再從上到寫閱讀，例：we have run out of beer

wehave

runout

ofbeer

→wroeufhnbaoevueetr

5.陷門函數(Trapdoor function)
這類密碼具有單向性，因此才被稱為陷門，但書裡舉的例子我看不太懂。不過它的精神大概是這樣子：

1.13x23等於幾？

2.哪兩個數字相乘可得323？

→求第一個問題很快，但求第二個問題則花上較多的時間。加密是用這樣的精神，用兩個100位數的質數去加密轉成英文字母的數字。

蛋糕聰明均分術：

只要是正多邊形，都可以用這樣的方法均份任意等份的蛋糕。只要將周長均分n等份，然後從各切點切到中心即可，如下圖所示：

賽局理論：

這個東西我一直覺得很有趣，之前有看過另一本書專門講這的應用，所以就不在這裡重複說了。

他舉的例子有兩家公司在考慮要不要打廣告。(若兩家不打廣告，則各賺200萬，若只有一家打的話，則賺三百萬，而另一家為0。若兩家都打的話，則各賺一百萬而已。而經過賽局的思考，會讓兩家作出合理的選擇→打廣告，而廣告成本則會加到消費者身上，唯一有利可圖的是廣告業。)

離譜的行排榜錯誤結論：

書裡列出了一份各隊的對戰成績表

隊伍  比賽次數  勝  平  負  點數

A         18       11  2   5   35

...

J          18        3   5   10  14

乍看之下是A隊的表現最好，J隊最差，可是書裡說其實這是不同的人拋擲硬幣相互比試的結果(是真的)。所以這種運動排行榜不用特定解讀，因為似乎J隊遜於A隊，但其實他們的勝率都是1:1。

還有，若球隊或球員的勝算只需要高出20%，就非常有機會在該聯盟連年獲勝。

還有，某些球員的公共形象特別凸顯，因此民眾預期他們的名次排行始終都會很高，但要知道媒體矚目程度並不能順當轉換為點數。

另外，光憑統計很難去評量運動員，因為沒有任何數學公式能夠評估人類情緒，但那卻是許多運動表現讓人難忘的原因。(會顯響運動員受人景仰的程度。)

模糊邏輯：(Fuzzy Logic)

若今天天空只有一片雲，你可以說今天天氣晴朗，兩片雲也算是晴朗，那一千片雲呢？這時就算陰天了，所以表示在兩片和一千片之間，到了某點，天氣就不再晴朗。不過在陰沈程度達到某個絕對點之時，所有人突然之間就不再稱當天是晴天了。沒有人能正確指出那個時刻，因此，今天天氣晴朗這句陳述有含糊之處。

若A區的民眾稅率是10%，而對街的B區民眾是12%，則所有人都會跑來A區生活，所以理想的稅率訂定應採模糊作法。在人類的很多生活中都存在這種「模糊」現象，像你說Sandy和Susan長得很像，是要多像這句陳述才為真？習慣上人類會這樣講，但電腦則不會。

同時政客也知道，只有在模糊狀況下，他們才能佔有的席之地。

Poisson Distribution：

當兩件事情發生的機率為獨立時，平均每分鐘來了λ位客人，那麼在某指定分鐘期間，有K位客人抵達的機率為→ 

關鍵路徑分析：

這邊舉的例子是作肉餡馬鈴薯有許多步驟，花的時間不一，有些可以先做，有些一定要等前面的步驟完成後才能繼續，因為字很多，就不打了。不過他有舉到一個益智題目：

四人必須要跨越一座陸橋才能搭上最後一班火車，而且再過不到16分鐘列車就要開了。不過陸橋只能容兩人通行，而且通過時必須全程使用手電筒，而且要按照較慢那個人的速率一起通過。

James可以在1分鐘內通過。

Keis可以在2分鐘內通過。

Larry可以在5分鐘內通過。

Mike需要花8分鐘才能通過。

這四人只有一隻手電筒，而且只能用手拿，不可以拋擲。

答案為：James和Keis先通過(2分鐘)→Keis帶手電筒回來(2分鐘)→Larry和Mike一起過橋(8分鐘)→James帶手電筒回來(1分鐘)→James和Keis一起過橋(2分鐘)，總共花15分鐘。

書的最後有六項關於數學的小魔術：

1.
從1~10之間選個數字→乘以9→把乘出來的這兩位數相加(如果是1x9的話就不用加了)→減掉4→把數字轉成英文字母(A等於1、B等於2…)→把這字母當作首字母，想一個動物名稱。答案一定是elephant。

2.

拿7張樸克牌(11張也行，只要是質數張都行)，然後偷看最下面的底牌(假設是黑桃A)，然後請對方挑一個1~6之間的數字，並說我不會讓黑桃A輕易出現的。假設對方挑4，則我從上到下數三張放到牌底，並翻開第4張給他看，然後再放回牌底，這樣的步驟做7次，第7次才會是那張底牌(黑桃A)。

3.預測數字

小時候玩過，利用二進位的原理，作出來的卡片。問對方卡片中有沒有他想的那個數字，把他說有的卡片的左上角的數字加起來(1, 2, 4, 8...)，就是他心中想的那數字。

4.魔術方陣

在一個4x4的方陣裡，先選一個數字，並畫出垂直和水平的線槓掉剩下的數字，從剩有的數字中再重複這步驟3次。最後把我選的這四個數字加起來，一定會等於某數。(當然這方陣是經過設計的，要先在4x4方框外先填定數字，然後這8個數字的總和，就是最後遊戲中加起來的總數。在X方向的4個數字和在Y方向的4個數字兩兩相加就會產生這個方陣了。)

5.無聊的數字，驚喜的結果

準備五張卡片，分別寫上3, 7, 11, 13, 37。然後請對方先想一個個位數，然後抽一張卡片，將卡片上的數字和他心中所想的數字相乘，等五張卡片都乘完後，會出現有趣的結果。(因為3x7x11x13x37=111111)

它的變形：3x37=111再乘上一個個位數、7x11x13=1001再乘上一個三位數。

6.顛倒數

原理：99的任意倍數，從198到891加上其倒數都會得到1089。

想一個三位數字，且百位數和個位數的值要差2以上(例：791)，把數字倒置(197)，相減(791-197=594)，將新數字再倒置(495)，將這兩個數字再相加(594+495=1089)，我可以預測對方一定會說1089。

接著還可以再進一步地說，將這數字加上200，接著除以10000，隨後再乘以6(等於0.7734)，然後將計算機倒著看就會變成hELLO了。